Это сокращенная формула вежливости при прощании: честь имею кланяться.
Верно: в честь праздника День энергетика.
Возможно интонационное (авторское) тире.
Корректно написание со строчной буквы.
Предложение составлено верно.
Если имеется в виду "те могут", то верно: Герцоги – те да!
Определение, относящееся к двум или нескольким существительным – однородным членам, ставится в форме единственного числа, если по смыслу сочетания ясно, что определение относится не только к ближайшему существительному, но и к последующим. Таким образом, верно: защищать свою честь и достоинство.
Словари последних лет рекомендуют: приумножать.